Hoja 5, ejercicio 5: Chirped pulse amplification - amplificación de pulso gorjeado¶
Enunciado¶
Una limitación en conseguir pulsos de láseres muy intensos es el daño causado en$\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}$
el medio de amplificación si la amplitud del campo es demasiado grande. Para
evitar esta limitación, se usa el concepto de chirped pulse amplification
(CPA, premio nobel 2018). Esta técnica consiste en "estirar" temporalmente un
pulso mediante propagación por un medio dispersivo y así bajar la amplitud
máxima, amplificar el pulso alargado, y después "recomprimir" el pulso
amplificado para obtener un pulso ultracorto y muy intenso. Estudiamos algunos
aspectos de este proceso. Tratamos un pulso Gaussiano ultracorto de luz descrito
(en $x=0$) por $E(t) = \Re \mathcal{E}(t)$, con $\mathcal{E}(t) = E_0
e^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}} e^{i \omega_0 t}$, con amplitud máxima $E_0$,
frecuencia central $\omega_0$, y duración $\sigma$. (a) Calcular la distribución
de frecuencias del pulso, dada por la transformada de Fourier
$\tilde{\mathcal{E}}(\omega) =
\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \mathcal{E}(t) e^{-i \omega t}
\mathrm{d}t$. Discutir la forma de $\tilde{\mathcal{E}}(\omega)$ y la relación
entre $\sigma$ y la anchura de la distribución de frecuencias. (b) El pulso se
propaga por un medio dispersivo donde cada frecuencia acumula una fase diferente
(sin cambiar la energía total o la distribución de energía) de tal manera que
después del medio, la transformada de Fourier está dado por
$\tilde{\mathcal{E}}_2(\omega) = e^{i \frac{g}{2} (\omega-\omega_0)^2}
\tilde{\mathcal{E}}(\omega)$, con $g$ una constante real (con unidades de
tiempo$^2$). Usando la transformación inversa de Fourier, $\mathcal{E}_2(t) =
\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \tilde{\mathcal{E}}_2(\omega) e^{i \omega t}
\mathrm{d}\omega$, obtener la forma temporal del pulso después de la
propagación, $E_2(t) = \Re \mathcal{E}_2(t)$, y verificar que se puede escribir
como un pulso gorjeado en cual la frecuencia varia con el tiempo,
\begin{equation}
E_2(t) = E_g e^{-\frac{t^2}{2\sigma_g^2}} \cos(\phi(t))
\end{equation}
con $\sigma_g = \sqrt{\sigma^2 + g^2/\sigma^2}$, $E_g = E_0
\sqrt{\frac{\sigma}{\sigma_g}}$, y $\phi(t) = \omega_0 t - \frac12 \frac{g
t^2}{\sigma^2\sigma_g^2} - \frac12\arg{z}$, donde $z=\sigma^2-ig =
|z|e^{i\arg{z}}$. Analizar los cambios de amplitud, duración, y oscilación, en
particular la frecuencia instantánea $\omega(t) =
\frac{\mathrm{d}\phi(t)}{\mathrm{d}t}$ y discutir su dependencia con $g$. (c) El
pulso gorjeado $E_2(t)$ pasa por un amplificador, y después se propaga por un
medio que deshace el "gorjeo" y le convierte a la forma original. Asumiendo que
se quiere conseguir un pulso con amplitud $E_0 = 10^{13}~$V/m (aproximadamente
veinte veces más fuerte que el campo eléctrico que siente el electrón en un
átomo de hidrógeno en el estado $n=1$) y duración $\sigma = 10~$fs
($1~\text{fs}=10^{-15}~$s), calcular el valor de $g$ necesario y la duración
$\sigma_g$ asociada para que la amplitud del pulso gorjeado no supera $E_g =
10^7~$V/m (lo que asumimos como el límite para evitar daños en el medio de
amplificación).
Solución¶
(a) Evaluando la transformada de Fourier, obtenemos
\begin{equation}
\tilde{\mathcal{E}}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \mathcal{E}(t) e^{-i \omega t} \mathrm{d}t
= \sigma E_0 e^{-\frac{1}{2} \sigma^2 (\omega - \omega_0)^2} = \sigma E_0 e^{-\frac{1}{2 \sigma^{-2}} (\omega - \omega_0)^2},
\end{equation}
lo que significa que la distribución de frecuencias de un pulso Gaussiano
también es Gaussiano, centrado en la frecuencia $\omega_0$ y con anchura
(desviación estándar) de $\sigma^{-1}$. Es decir, si aumentamos la duración
$\sigma$ del pulso, su frecuencia está mejor definido, y si bajamos su duración
para que sea mejor definida el momento en que llega, aumentamos el rango de
frecuencias que contribuyen al pulso. Es otro ejemplo del principio de
incertidumbre, en este caso entre tiempo y frecuencia.
(b) Para obtener la transformada inversa de Fourier,
\begin{equation}
\mathcal{E}_2(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \tilde{\mathcal{E}}_2(\omega) e^{i \omega t} \mathrm{d}\omega,
\end{equation}
escribimos
\begin{align}
\tilde{\mathcal{E}}_2(\omega) = \sigma E_0 e^{i \frac{g}{2} (\omega-\omega_0)^2} e^{-\frac{1}{2} \sigma^2 (\omega - \omega_0)^2}
= \sigma E_0 e^{-\frac{1}{2} (\sigma^2 - i g) (\omega - \omega_0)^2} = \sigma E_0 e^{-\frac{1}{2} z (\omega - \omega_0)^2},
\end{align}
con $z = \sigma^2 - i g$ como en el enunciado. La transformada inversa de
Fourier de esta función (que existe para $\Re z > 0$) es
\begin{equation}
\mathcal{E}_2(t) = E_0 \frac{\sigma}{\sqrt{z}} e^{-\frac{t^2}{2 z} + i \omega_0 t}.
\end{equation}
Ahora usamos que $\frac{1}{z} = \frac{z^*}{|z|^2} = \frac{\sigma^2 + ig}{\sigma^4 + g^2} =
\frac{1}{\sigma_g^2} + i \frac{g}{\sigma^2 \sigma_g^2}$, y que $\sqrt{z} = \sqrt{|z|}
e^{\frac{i}{2}\arg z} = \sqrt{\sigma \sigma_g} e^{\frac{i}{2}\arg z}$, con
$\sigma_g = \sqrt{\sigma^2 + g^2/\sigma^2}$ como dado. Insertando y reorganizando, obtenemos
\begin{equation}
\mathcal{E}_2(t) = E_0 \sqrt{\frac{\sigma}{\sigma_g}} e^{-\frac{t^2}{2 \sigma_g^2}}
e^{i \left(\omega_0 t + \frac{g t^2}{2 \sigma^2 \sigma_g^2} - \frac12 \arg z\right)},
\end{equation}
y se ve directamente que $E_2(t) = \Re \mathcal{E}_2(t)$ tiene la forma dado en
el enunciado. Vemos que el pulso tiene todavía una forma Gaussiana, pero con una
duración aumentada de $\sigma_g = \sqrt{\sigma^2 + g^2/\sigma^2}$, y con una
amplitud máxima más baja, $E_g = E_0 \sqrt{\sigma/\sigma_g}$, lo que corresponde
a una supresión de la intensidad maxima $(\propto E_g^2)$ por un factor $\sigma_g/\sigma
= \sqrt{1 + g^2/\sigma^4}$. La oscilación del pulso ahora no solo contiene un
factor $\omega_0 t$, sino también un factor cuadrático en $t$, lo que significa
que la frecuencia cambia a lo largo del pulso. En particular, la frecuencia
instantánea está dada por $\frac{\mathrm{d}\phi(t)}{\mathrm{d}t} = \omega_0 -
\frac{g}{\sigma^2 \sigma_g^2} t = \omega_0 + \Delta\omega(t)$. Se ve que
para $g>0$ la frecuencia instantánea baja durante el pulso (las frecuencias
altas llegan antes), y para $g<0$, la frecuencia sube durante el pulso
(las frecuencias bajas llegan antes).
Como ilustración, representamos abajo pulsos gorjeados para el caso de un
pulso originalmente ultracorto con $\omega = 2\cdot 10^{15}~$s$^{-1}$ (longitud de ondas
$\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi c_0}{\omega} \approx 942~$nm), $\sigma =
3~$fs, y un gorjeo que se puede ajustar entre $g = -100~\mathrm{fs}^2$ y $g = 100~\mathrm{fs}^2$.
Vemos que aumentando $|g|$, el pulso se hace más largo en el tiempo, menos intenso, y
la frecuencia instantanea cambia durante el pulso (las oscilaciones son más lentas al
final que al principio para $g>0$, y al revés para $g<0$). Se puede comentar que
este efecto es visualmente muy obvio porque hemos escogido un pulso ultracorto que
contiene un espectro amplio de frecuencias. Recordamos que el pulso tiene
siempre el mismo espectro de frecuencias, $|\tilde{\mathcal{E}}(\omega)| =
|\tilde{\mathcal{E}}_2(\omega)|$ (pintado en negro a la derecha), la única diferencia es la fase
$\arg(\tilde{\mathcal{E}}(\omega))$ de la transformada de Fourier (pintado en amarillo). Entonces,
en el caso de usar un pulso original más largo ($\sigma$ más grande) en cual la
distribución de frecuencias es más estrecho, la frecuencia instantánea en el pulso
gorjeado también se mantiene cerca del valor medio y el gorjeo no es tan obvio.
(c) Obtenemos que $\sigma_g = \sigma E_0^2 / E_g^2$, que para los parámetros
dados corresponde a $\sigma_g = 10~$ms (es decir, se tiene que alargar el pulso
por un factor $10^{12}$). El valor requerido de
$g = \pm \sigma \sqrt{\sigma_g^2 - \sigma^2}$ es
$g = \pm 10^{-16}~\mathrm{s}^2 = \pm 10^{14}~\mathrm{fs}^2$ (no importa su signo).
